Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1+1．
（1）若S_n=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，（n∈N^*），求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n-2ⁿ-4n-1能被64整除．
（2）是不是存在等差數(shù)列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對(duì)一切n∈N^*都成立？若存在，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）記T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），當(dāng)n≥2時(shí)，求證：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-．

Answer 1

（1）證明：由已知得，S_n =a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=（1+1）C_n⁰+（2+1）C_n¹+（2²+1）C_n²+…+（2ⁿ）C_nⁿ
=（C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（1+2）ⁿ+2ⁿ=3ⁿ+2ⁿ．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，k∈z₊，則S_n-2ⁿ-4n-1=3ⁿ -4n-1=9^k-8k-1．
當(dāng)k=1時(shí)，9^k-8k-1=0，顯然能被64整除．
假設(shè) 9^m-8m-1 能被64整除m為正整數(shù)，則n=m+1時(shí)，9^k-8k-1=99^m-8m-8-1=9（9^m-8m-1 ）+64m，
由假設(shè)知，9（9^m-8m-1 ）能被64整除，再由64m 也能被64整除，
可得k=m+1時(shí)，9^m-8m-1仍能被64整除．
綜上可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n-2ⁿ-4n-1 能被64整除．
（2）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對(duì)一切n∈N^*都成立，a_n=2^n-1+1，
故當(dāng)n=1時(shí)，有 b₁ =a₁ -1=1，
當(dāng)n=2時(shí)，有 2 b₁ +b₂ =2（a₂ -1）=4，∴b₂ =2．
當(dāng)n=3時(shí)，有 3b₁ +3b₂+b₃=3（a₃-1），即 3+6+b₃=3×4，∴b₃=3．
若存在等差數(shù)列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對(duì)一切n∈N^*都成立，則應(yīng)有b_n =n．
由二項(xiàng)式定理可得 C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1 =2^n-1 成立，
故有n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，即C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（a_n-1）=n2^n-1 對(duì)一切n∈N^*都成立，
故存在等差數(shù)列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）對(duì)一切n∈N^*都成立，此時(shí)，b_n =n．
（3）T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），
由題意可得==，∴3-=3-．
要證的不等式即：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-．
當(dāng)n=2時(shí)，不等式的左邊等于 （1+）（1+）=，右邊等于3-=，不等式成立．
假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-，
則n=k+1時(shí)，不等式的左邊等于：（1+）（1+）（1+）…（1+）（1+）≤（3- ）（1+）
≤（3- ）（1+）=3+＜3-=3-=右邊，
故n=k+1時(shí)，（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-也成立．
綜上可得：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-成立．
分析：（1）利用二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)S_n 為3ⁿ+2ⁿ，設(shè)n=2k，k∈z₊，則S_n-2ⁿ-4n-1=3ⁿ -4n-1=9^k-8k-1，用數(shù)學(xué)歸納法證明它能被64整除．
（2）分別令n=1、2、3 求出b₁ =1，b₂ =2，b₃=3，若存在等差數(shù)列{b_n}，則 b_n =n，由C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1 =
2^n-1 成立，可得C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（a_n-1）=n2^n-1 對(duì)一切n∈N^*都成立，故卻是存在等差數(shù)列{b_n}，滿足條件．
（3）要證的不等式即：（1+）（1+）（1+）…（1+）≤3-，用數(shù)學(xué)歸納法和放縮法證明此不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式和不等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從n=k到n=k+1項(xiàng)的變化，屬于難題．