【題目】斜率為 的直線l與橢圓 + =1（a＞b＞0）交于不同的兩點(diǎn)A、B．若點(diǎn)A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若△PAB面積最大值是4 ，求該橢圓的方程．

【答案】
（1）解：由題意知：直線與橢圓兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣c，c，縱坐標(biāo)分別為﹣ ， ，

∴由 =

轉(zhuǎn)化為：2b2=2（a2﹣c2）= ac

即2e2+ e﹣2=0，

解得e= ，e=﹣ （負(fù)根舍去），

∴橢圓的離心率為e= ；


（2）解：∵P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大值是4 時(shí)，

有 |AB|h=4 ，

∵e= ，∴b=c，

∴a= c；

∴設(shè)橢圓的方程為 + =1，

則|AB|= c，

∴三角形PAB的高為h= ；

又直線為y= x，

即 x﹣2y=0；

則點(diǎn)P（ ccosθ，csinθ）到直線的距離表示為

d= = ≤ ，

令 = ，

解得c=2，

∴橢圓的方程為 + =1．


【解析】（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，得出直線與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，求出離心率e；（2）由（1）知，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 + =1，求出|AB|的值，利用三角形的面積求出高h(yuǎn)；再求點(diǎn)P到直線的最大距離d，由此求出c即可．
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知 ⊥ ，| |= ，| |=t，若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 = + ，當(dāng)t變化時(shí)， 的最大值等于（ ）
A.﹣2
B.0
C.2
D.4

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【題目】已知點(diǎn)F1、F2是雙曲線C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A.（1，+∞）
B.[ ，+∞）
C.（1， ]
D.（1， ]

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【題目】已知雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于O、A、B三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為 ，則p=（ ）
A.1
B.
C.2
D.3

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【題目】已知點(diǎn)P（ ，1）和橢圓C： + =1．
（1）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 試求△PF1F2的周長(zhǎng)及橢圓的離心率；
（2）若直線l： x﹣2y+m=0（m≠0）與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1 ， k2 ， 求證：k1+k2=0．

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【題目】已知關(guān)于x的不等式 （其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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【題目】已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，﹣1），離心率為 ．過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q． （I）求橢圓C的方程；
（II）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．

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【題目】如圖程序框圖的算法思路，源于我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出的秦九韶算法，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的n，an ， x分別為5，1，﹣2，且a4=5，a3=10，a2=10，a1=5，a0=1，則輸出的v=（ ）
A.1
B.2
C.﹣1
D.﹣2

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【題目】已知曲線C 的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （Ⅰ）求曲線C 的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2與曲線C 相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn) A、B，求△AOB的面積．

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