Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R．
（I）求f（x）的最小正周期和值域；
（II）若x0(0≤x0≤

π

2

)為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析：（I）先由倍角公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，再由正弦函數(shù)的最值求出此函數(shù)的最值，再求出函數(shù)的值域；
（II）由函數(shù)零點(diǎn)的定義求出sin(2x0-

π

6

)，再由x₀的范圍求出“2x0-

π

6

”的范圍，再由sin(2x0-

π

6

)的符號(hào)進(jìn)一步縮小“2x0-

π

6

”的范圍，由平方關(guān)系求出cos(2x0-

π

6

)，再把2x₀表示成“(2x0-

π

6

)+

π

6

”，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值．

解答：解：（I）由題意得，f(x)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x-

1

2

cos2x
=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期為π，且最大值為2+

1

2

=

5

2

，最小值為-2+

1

2

=-

3

2

，
，則f（x）的值域?yàn)?span id="vbblzhz" class="MathJye">[-

3

2

，  

5

2

]，
（II）由f(x0)=2sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=0得，
sin(2x0-

π

6

)=-

1

4

＜0，
又由0≤x0≤

π

2

得，-

π

6

≤2x0-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

π

6

≤2x0-

π

6

≤0，
∴cos(2x0-

π

6

)=

1-sin2(2x0- π 6 )

=

15

4

，
sin2x₀=sin[(2x0-

π

6

)+

π

6

]=sin(2x0-

π

6

)cos

π

6

+cos(2x0-

π

6

)sin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換中的一些公式應(yīng)用，關(guān)鍵是要把解析式化為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再求三角函數(shù)值時(shí)注意角之間的關(guān)系，以及三角函數(shù)值的符號(hào)問題．