Question

已知函數(shù)，．

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)設，若對任意的兩個實數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：．

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，

(2)    (3)構(gòu)造函數(shù)證明.

【解析】

試題分析：(1)當時，函數(shù)，則．

當時，，當時，1，

則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，．

(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

設，則，令，得．當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，取得最大值1，因而．

(3)，．

因為對任意的總存在，使得成立，

所以，即，

即

．

設，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，，又．所以，即．

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導數(shù)的應用，不等式的綜合應用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．