Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₃=4．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)b_n=

5

2

+log2an，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）比較

1

2

n3+2（n∈N^*）與（II）中S_n的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由條件根據(jù)關(guān)于正數(shù)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 4=1×q²，可得q的值，由此求得等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）先求得b_n=

5

2

+log2an=n+

3

2

，可得數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為

5

2

，由此求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n ．
（III）當(dāng)n=1，或n=2時(shí)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，

1

2

n3+2（n∈N^*）與

1

2

n（n+4）相等； 當(dāng)n=3時(shí)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．可得當(dāng)n≥3時(shí)，有

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4），
該結(jié)論得出的依據(jù)是：當(dāng)自變量的取值較大時(shí)，三次函數(shù)的增長(zhǎng)速度大于二次函數(shù)的增長(zhǎng)速度．

解答：解：（I）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₃=4，設(shè)公比為q，則由4=1×q²，可得q=2．
故等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為 a_n=1×2^n-2=2^n-1．
（II）由于 b_n=

5

2

+log2an=

5

2

+（n-1）=n+

3

2

，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且公差為1，故此數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n =

n[ 5 2 +(n+ 3 2 )]

2

=

1

2

n（n+4）．
（III）當(dāng)n=1，或n=2時(shí)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，

1

2

n3+2（n∈N^*）與

1

2

n（n+4）相等，當(dāng)n=3時(shí)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．
故當(dāng)n≥3時(shí)，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．
這是因?yàn)楫?dāng)n比較大時(shí)，函數(shù)

1

2

n3+2 的增長(zhǎng)速度大于S_n =

1

2

n（n+4）的增長(zhǎng)速度．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．