Question

8．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3≤0\\ x-3y+6≥0\\ 2x+y-2≥0\end{array}\right.$，在這兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y之間插入三個(gè)實(shí)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個(gè)等差數(shù)列后三項(xiàng)和的最大值為9．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的關(guān)系推出三項(xiàng)和關(guān)于x，y的表達(dá)式，畫(huà)出約束條件的可行域，利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求解最值．

解答 解：設(shè)構(gòu)成等差數(shù)列的五個(gè)數(shù)分別為x，a，b，c，y，
因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差$d=\frac{y-x}{4}$，
則$b+c+y=（x+2×\frac{y-x}{4}）+（x+3×\frac{y-x}{4}）+y=\frac{3}{4}（x+3y）$
（另解：因?yàn)橛傻炔顢?shù)列的性質(zhì)有x+y=a+c=2b，
所以$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．）
則等差數(shù)列后三項(xiàng)和為
$b+c+y=\frac{x+y}{2}+\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}+y$=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}y$
=$\frac{3}{4}（x+3y）$．）．
所以設(shè)z=x+3y，實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3≤0\\ x-3y+6≥0\\ 2x+y-2≥0\end{array}\right.$，
作出約束條件所表示的可行域如圖所示：
可知當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)z=x+3y有最大值12，此時(shí)b+c+y有最大值9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列以及線(xiàn)性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．