Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），長半軸長為．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結(jié)論“過圓上任一點(diǎn)（x，y）的切線方程是”，歸納得出：過橢圓上任一點(diǎn)（x，y）的切線方程是______ +

yy

b 2

=1

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與長半軸，求出b，然后求解橢圓的方程．
（2）（i）直接類比圓的切線方程，寫出橢圓的切線方程即可．
（ii）設(shè)m（2，y₁），N（2，y₂），通過向量的數(shù)量積，推出y₁，y₂的關(guān)系，求出|MN|的表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可．
解答：解：（1）（i）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=1，長半軸長為，可知，a=，所以b=1，
所以橢圓C的方程為．
（ii）過圓上任一點(diǎn)（x，y）的切線方程是，
過橢圓上任一點(diǎn)（x，y）的切線方程是：．
（2）∵M(jìn)，N是直線x=2上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴設(shè)m（2，y₁），N（2，y₂），（不妨y₁＞y₂）．
∵，
∴（3，y₁）•（1，y₂）=0，
即3+y₁y₂=0，由于y₁＞y₂．所以
y₁＞0，y₂＜0，
∴|MN|=y₁-y₂=y₁+，
當(dāng)且僅當(dāng)y₁=，y₂=-，時(shí)取等號．
故|MN|的最小值為：2．
故答案為：（ii）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，向量的數(shù)量積，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．