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已知四棱錐P-ABCD的直觀圖(如圖(1))及左視圖(如圖(2)),底面ABCD是邊長為2的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB。

(1)求證:AD⊥PB;

(2)求異面直線PD與AB所成角的余弦值;

(3)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小.

 

【答案】

(1)見解析(2) (3)

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中點面線的位置關系的運用。

(1)根據四棱錐P-ABCD的直觀圖及左視圖底面ABCD是邊長為2的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB。判定其形狀,然后證明AD⊥PB;

(2)利用平移法得到異面直線PD與AB所成角的余弦值;

(3)建立空間直角坐標系,然后表示平面的法向量,運用向量的夾角公式得到平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小

解:⑴取AB的中點O,連接PO,因為PA=PB,則PO⊥AB,

又∵ 平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO平面PAB,

∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AD,…………2分

而AD⊥AB,PO∩AB=O,

∴AD⊥平面PAB,

∴AD⊥PB!4分

⑵過O作AD的平行線為x軸,以OB、OP所在直線分別為y、z軸,建立如圖10的空間直角坐標系,則A(0,-1,0),D(2,-1,0),B(0,1,0),C(2,1,0),

=(2,-1,-2),=(0,2,0),cos<,>==-

即異面直線PD與AB所成角的余弦值為。…………8分

⑶易得平面PAB的一個法向量為n=(1,0 ,0)。

設平面PCD的一個法向量為m=(x,y,z),由⑵知=(2,-1,-2),=(0,-2,0),則,即,解得x=z,

令x=1,則m=(1,0,1),……….10分

則cos<n,m>==,

即平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小為!..12分

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,側面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中點.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點,AE與BD交于O點,AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年山東省濟寧一中高三(上)期末數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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