Question

已知函數(shù)f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再求所求切線的斜率即f′（1），由于切點(diǎn)為（1，

1

e

），即可得所求切線的方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)的極值．

解答：解：（1）∵f（x）=xe^-x，∴f′（x）=x（e^-x）′+x′e^-x=e^-x（-x+1）
∴f′（1）=0，f（1）=

1

e

即函數(shù)f（x）圖象在x=1處的切線斜率為0
∴圖象在x=1處的切線方程為y=

1

e

（2）求導(dǎo)函數(shù)，f′（x）=（1-x）e^-x，令f′（x）=0，解得x=1
由f′（x）＞0，可得x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1
∴函數(shù)在（-∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
∴函數(shù)在x=1時(shí)取得極大值f（1）=

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．