Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x（其中a∈R）．
（Ⅰ）若x=0為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，解不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，從而可得a=0；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)可化為（x-1）e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），即（x-1）（e^x-（

1

2

x²+x+1））＞0，令g（x）=e^x-（

1

2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-x-1，從而由導(dǎo)數(shù)解不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax²+（a-1）²x+a-（a-1）²]e^x．
∴f′（x）=[ax²+（a²+1）x+a]e^x，
∵x=0為f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（0）=a•e⁰=0，
∴a=0；
經(jīng)檢驗(yàn)成立；

（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，不等式f(x)＞(x-1)(

1

2

x2+x+1)可化為
（x-1）e^x＞（x-1）（

1

2

x²+x+1），
即（x-1）（e^x-（

1

2

x²+x+1））＞0，
令g（x）=e^x-（

1

2

x²+x+1），h（x）=g′（x）=e^x-x-1，
h′（x）=e^x-1；
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）=e^x-1＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）=e^x-1＜0；
故h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（0）=0；
故g（x）在R上單調(diào)遞增，且g（0）=0；
故e^x-（

1

2

x²+x+1）＞0，x＞0；
e^x-（

1

2

x²+x+1）＜0，x＜0；
所以原不等式的解集為{x|x＜0或x＞1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及不等式的解法的應(yīng)用，屬于中檔題．