Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，設直線l經過點P(3，)，且與x軸交于點F(2，0)．

(1)求直線l的方程；

(2)如果一個橢圓經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程；

(3)若在(Ⅰ)(Ⅱ)的情況下，設直線l與橢圓的另一個交點Q，且，當|OM|最小時，求λ對應值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵P(3，)，F(2，0)， 　　∴根據兩點式得，所求直線l的方程為＝ 　　即y＝(x－2)． 　　∴直線l的方程是y＝(x－2)．　　　　　　　　　　4分 　　(2)解法一：設所求橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞b)， 　　∵一個焦點為F(2，0)， 　　∴c＝2． 　　即a2－b2＝4　　　　　①　　　　　　　5分 　　∵點P(3，)在橢圓＝1(a＞b＞0)上， 　　∴＝1　�、凇　　　　　　　　　　　　�7分 　　由①，②解得a2＝12，b2＝8． 　　所以所求橢圓的標準方程為＝1．　　　　　　　　9分 　　解法二：設所求橢圓的標準方程為＝1(a＞b＞0)， 　　∵c＝2，a2－b2＝4．　　　　　　　　　　　　　　6分 　　∴橢圓的另一個焦點為F1(－2，0)． 　　由橢圓過點P(3，)， 　　∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝4． 　　∴a2＝12，b2＝8． 　　所以所求橢圓的標準方程為＝1．　　　　　　　　9分 　　(3)解法一：由題意得方程組 　　解得或 　　∴Q(0，2)．　　　　　　　　　　　　11分 　　＝(－3，－3)． 　　∵＝λ＝(－3λ，3λ)， 　　∴＝＋＝(3－3λ，，3λ)． 　　∴||＝ 　�。�＝， 　　∴當λ＝時，||最�。�　　　　　　　　　　14分 　　解法二：由題意得方程組 　　解得或 　　∴Q(0，－2)． 　　∵＝λ＝(－3λ，3λ)， 　　∴點M在直線PQ上， 　　∴||最小時，必有OM⊥PQ． 　　∴kOM＝－＝－． 　　∴直線OM的方程為y＝－x． 　　直線OM與PQ的交點為方程組的解， 　　解之得 　　∴M(，－)， 　　∴＝(－，－) 　　∵＝λ，即(－，－)＝λ(－3，－3)， 　　∴λ＝． 　　∴當λ＝時，||最�。�