Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m），其中m∈R且m為常數(shù)．
（Ⅰ）試判斷當(dāng)m=0時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處取得極值，求m的值，并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）代入m=0，只需判斷x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）的符號(hào)即可；
（Ⅱ）由題意得f′（0）=0，可求m，從而可得f′（x），易判斷f′（x）單調(diào)遞增，再由導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可知其符號(hào)變化情況，從而可得f（x）的單調(diào)性；

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=e^x-lnx，
求導(dǎo)數(shù)得：f′(x)=ex-

1

x

，
∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，ex≥e，

1

x

≤1，∴f'（x）＞0，
∴當(dāng)m=0時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)得：f′(x)=ex-

1

x+m

，
由x=0是f（x）的極值點(diǎn)得f'（0）=0，∴m=1，
于是f（x）=e^x-ln（x+1），定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′(x)=ex-

1

x+1

，
顯然函數(shù)f′(x)=ex-

1

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，且f'（0）=0，
因此當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（0）＜0；x∈（0，+∞）時(shí)，f'（0）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，正確理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵．