解:(1)AB的斜率 K
AB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332521.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,∴K
BC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/95956.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,
故求BC邊所在直線方程為 y+2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
(x-0),即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332522.png)
.
(2)在BC邊所在直線方程中,令y=0,可得 x=4,故 C(4,0).
設(shè)△ABC的外接圓方程為 x
2+y
2+Dx+Ey+F=0,把 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332523.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332524.png)
,∴△ABC的外接圓方程為 x
2+y
2-2x-8=0.
(3)由題意可得P(-1,0 ),△ABC的外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x-1)
2+y
2=9,
表示以S(1,0)為圓心,以3為半徑的圓.
由于DE是圓M的任一條直徑,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332525.png)
的夾角為θ,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21402.png)
的夾角為π-θ,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/184476.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21402.png)
)•(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332525.png)
)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332526.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332527.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332528.png)
+
=4+|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
|•|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332525.png)
|cosθ+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332530.png)
cos(π-θ)+(-SD
2)=4+2×3cosθ-2×3cosθ-9=-5,
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/184476.png)
是定值,為-5.
分析:(1)用斜率公式求出 AB的斜率 K
AB,根據(jù)垂直關(guān)系可得BC的斜率 K
BC,用點(diǎn)斜式求得BC邊所在直線方程.
(2)在BC邊所在直線方程中,令y=0,可得點(diǎn) C的坐標(biāo),設(shè)△ABC的外接圓方程為 x
2+y
2+Dx+Ey+F=0,把 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入,求出 D、E、F的值,即得△ABC的外接圓方程.
(3)由題意可得P(-1,0 ),△ABC的外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x-1)
2+y
2=9,設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332525.png)
的夾角為θ,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21402.png)
的夾角為π-θ,根據(jù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/184476.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21402.png)
)•(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332525.png)
),求得結(jié)果.
點(diǎn)評(píng):本題考查用點(diǎn)斜式求直線方程,求圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程,兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/184476.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21402.png)
)•(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/129634.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/332525.png)
),是解題的關(guān)鍵.