Question

已知點（

5π

12

，2）在函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜

π

2

）的圖象上，直線x=x₁、x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求函數f（x）的單遞增區(qū)間和其圖象的對稱中心坐標；
（2）設A={x|

π

4

≤x≤

π

2

}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的圖象

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）通過|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，推出函數的周期，求出ω，利用函數圖象經過的特殊點求出初相，得到函數的解析式，利用正弦函數的單調增區(qū)間求函數f（x）的單遞增區(qū)間，求解對稱中心坐標；
（2）利用A={x|

π

4

≤x≤

π

2

}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，列出關系式得到不等式組，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，
∴周期T=π=

2π

ω

⇒ω=2，
又圖象經過點（

5π

12

，2），
∴2sin（

5π

6

+φ）=2⇒φ=2kπ-

π

3

，k∈Z．
∵|φ|＜

π

2

∴φ=-

π

3

．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．…3分．
-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z為此函數的單調遞增區(qū)間．    …5分
對稱中心為點（

π

6

+

1

2

kπ，0），k∈Z．            …7分
（2）∵A⊆B，
∴當

π

4

≤x≤

π

2

時|f（x）-m|＜1恒成立
即m-1＜f（x）＜m+1恒成立
即

f(x)max＜1+m f(x)min＞m-1

，
∵f（x）∈[1，2]，
∴

2＜1+m 1＞m-1

?1＜m＜2． …14分．

點評：考查三角函數的圖象與性質，函數的解析式的求法，函數圖象的對稱性與單調性．涉及知識點較多，綜合性較強．