Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N*且n≥2，都有成立，求m的最大值；

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以，
故a_n=（n+1）•2ⁿ．

（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/29664.png' />=，則．
令，則．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為．
據(jù)題意，，即m＜19．又m為整數(shù)，
故m的最大值為18．
分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，求得數(shù)列的遞推式，進(jìn)而整理得推斷出數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．根據(jù)S₁=2a₁-2²，求得a₁，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，則a_n可求得．
（2）把（1）中求得a_n代入中求得b_n，則B_3n-B_n可求令，進(jìn)而表示出f（n+1）兩式相減求得f（n+1）＞f（n），判斷出數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．進(jìn)而求得數(shù)列的最小值，進(jìn)而根據(jù)，，求得m的范圍．利用m為整數(shù)求得m的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的確定，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．