Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積V；
（Ⅲ）求二面角E-AD-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明EF∥AD，利用線面平行的判定定理，可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求出V_P-ABCD=

1

3

S_矩形ABCD•PA，即可求四棱錐E-ABCD的體積V；
（Ⅲ）證明∠BAE為所求二面角的平面角，即可求二面角E-AD-C的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)
∴EF∥BC       …（1分）
∵BC∥AD
∴EF∥AD       …（2分）
∵AD?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD  …（3分）
（Ⅱ）∵AP=AB，BP=2，AP⊥平面ABCD
∴AB=AP=

2

    …（4分）
∵S_矩形ABCD=AB•BC=2

2

∴V_P-ABCD=

1

3

S_矩形ABCD•PA=

4

3

  …（5分）
∴V=

1

2

V_P-ABCD=

2

3

  …（6分）
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD
∴AD⊥PA
∵ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∵AP∩AB=A
∴AD⊥平面ABP
∵AE?平面ABP
∴AD⊥AE
∴∠BAE為所求二面角的平面角…（8分）
∵△ABP是等腰直角三角形，E是PB中點(diǎn)
∴所求二面角為45° …（9分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力．屬于中檔題．