Question

設(shè)函數(shù)， 是定義域為的奇函數(shù)．

（Ⅰ）求的值，判斷并證明當時，函數(shù)在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）已知，函數(shù)，求的值域；

（Ⅲ）已知，若對于時恒成立.請求出最大的整數(shù)．

 

Answer 1

（Ⅰ），在R上為增函數(shù)；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大整數(shù)為10.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，由單調(diào)性的定義證明 在R上是增函數(shù)；

（Ⅱ）由可得，，由換元法令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；（Ⅲ）時，原式可化為，令，由分離參數(shù)的方法得到，進而得到的取值范圍.本題中用到換元法，換元之后應(yīng)特別注意變元的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）是定義域為R上的奇函數(shù)， ，得．

，，即是R上的奇函數(shù) 2分

設(shè)，則，

，，， 在R上為增函數(shù) 5分

（Ⅱ），即，或（舍去）

則，令，

由（1）可知該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則

則 8分

當時，；當時，

所以的值域為 10分

（Ⅲ）由題意，即，在時恒成立

令，則

則恒成立

即為恒成立 13分

，恒成立，當時，

，則的最大整數(shù)為10 16分

考點：函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，換元法求函數(shù)的最值，用分離參數(shù)的方法求參數(shù)的取值范圍.