Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) 存在極小值，不存在極大值.

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：(Ⅰ)由題意得，因?yàn)?/span>，所以，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值；

(Ⅱ)由方程，得，由，得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可判定函數(shù)至多在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，得出結(jié)論.

詳解：(Ⅰ)解：求導(dǎo)，得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù).

故當(dāng)時(shí)，存在極小值，不存在極大值.

(Ⅱ)證明：解方程，得.

由，得.

隨著的變化，與的變化情況如下表：

		1
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)至多在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)；

所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn).