(2007江蘇，20)已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，．記為數(shù)列的前n項和．

(1)若(m，k是大于2的正整數(shù))，求證：；

(2)若(i是某個正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項；

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項成等差數(shù)列?若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由．

答案：略
解析：

解析：(1)設等差數(shù)列的公差為d，則由題設得

，，且q≠1．

由得，

所以，

．

故等式成立．

(2)(i)證明q為整數(shù)：

由得，

即，

移項得．

因，，得q=i－2，故q為整數(shù)．

(ii)證明數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項：

設是數(shù)列中的任一項，只要討論n＞3的情形．

令，

即，

得．

因q=i－2，當i=1時，q=－1，為－1或0，則k為1或2；

而i≠2，否則q=0，矛盾．

當i3時，q為正整數(shù)，所以k為正整數(shù)，從而．

故數(shù)列中的每一項都是數(shù)列中的項．

(3)取，，．

．

所以，，成等差數(shù)列．


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