Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，

3

2

），一個焦點為（

3

，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與x軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點Q，求

|AB|

|PQ|

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓過點（1，

3

2

），結合給出的焦點坐標積隱含條件a²-b²=c²求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關系求出A，B橫縱坐標的和與積，進一步求得AB的垂直平分線方程，求得Q的坐標，由兩點間的距離公式求得|PQ|，由弦長公式求得|AB|，作比后求得

|AB|

|PQ|

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

，解得a=2，b=1．
∴橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，
y1+y2=k(x1+x2-2)=

-2k

1+4k2

．
∴線段AB的中點坐標為(

4k2

1+4k2

，

-k

1+4k2

)，
∴線段AB的垂直平分線方程為y-

-k

1+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

1+4k2

)．
取y=0，得x=

3k2

1+4k2

，
于是，線段AB的垂直平分線與x軸的交點Q(

3k2

1+4k2

，0)，
又點P（1，0），
∴|PQ|=|1-

3k2

1+4k2

| =

1+k2

1+4k2

．
又|AB|=

(1+k2)[( 8k2 1+4k2 )2-4• 4k2-4 1+4k2 ]

=

4 (1+k2)(1+3k2)

1+4k2

．
于是，

|AB|

|PQ|

=

4 (1+k2)(1+3k2) 1+4k2

1+k2 1+4k2

=4

1+3k2 1+k2

=4

3- 2 1+k2

．
∵k≠0，
∴1＜3-

2

1+k2

＜3．
∴

|AB|

|PQ|

的取值范圍為(4，4

3

)．

點評：本題主要橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是難題．