Question

若y=f（x）的圖象如圖所示，定義F（x）=

∫

x0

f(t)dt，x∈[0，1]，則下列對F（x）的性質描述正確的有______．
（1）F（x）是[0，1]上的增函數(shù)；
（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的減函數(shù)；
（4）?x₀∈[0，1]使得F（1）=f（x₀）．

Answer 1

由定積分的集合意義可知，F(xiàn)（x）表示圖中陰影部分的面積，且F′（x）=f（x），
當x₀逐漸增大時，陰影部分的面積也逐漸增大，
所以F（x）為增函數(shù)，故（1）、（2）正確；
由定積分的幾何意義可知，必然）?x₀∈[0，1]，使S₁=S₂，
此時S_矩形ABCO=S_{曲邊三角形AOD}即F（1）=∫₀¹f（t）dt=f（x₀），故（4）正確．
所以對F（x）的性質描述正確的有（1）（2）（4）
故答案為：（1）（2）（4）