在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=1,a
2=2,且a
2n-1,a
2n,a
2n+1成等差數(shù)列,a
2n,a
2n+1,a
2n+2成等比數(shù)列,n=l,2,3,….
(Ⅰ)分別計算a
3,a
5和a
4,a
6的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{a
n}的通項公式(將a
n用n表示);
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列
的前n項和為S
n,證明:
,n∈N*。
解:(Ⅰ)由已知得
。
(Ⅱ)
,
,…
,…
∴猜想:
,
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之。
①當n=1時,
,猜想成立;
②當n=k(k≥1,k∈N*)時,猜想成立,即
,
那么
,
,
∴n=k+1時,猜想成立,
由①②,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對任意n∈N*,猜想成立;
∴當n為奇數(shù)時,
;
當n為偶數(shù)時,
;
即數(shù)列{a
n}的通項公式為
。
(Ⅲ)由(Ⅱ)得
,
顯然
;
當n為偶數(shù)時,
;
當n為奇數(shù)時,
綜上所述,
。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=1,a
2=2,且a
2n-1,a
2n,a
2n+1成等差數(shù)列,a
2n,a
2n+1,a
2n+2成等比數(shù)列,n=1,2,3,….
(1)分別計算a
3,a
5和a
4,a
6的值;
(2)求數(shù)列{a
n}的通項公式(將a
n用n表示);
(3)設(shè)數(shù)列
{}的前n項和為S
n,證明:
Sn<,n∈N
*.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2011•東城區(qū)二模)在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立.
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)
bn=(1+1)(1+)…(1+),
cn=6(1-),求證:對任意的n∈N
*,
≥0.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:北京模擬題
題型:解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N*都成立,
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)
,求證:對任意的n∈N*,
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立.
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)
,
,求證:對任意的n∈N
*,
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2011年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版)
題型:解答題
在單調(diào)遞增數(shù)列{a
n}中,a
1=2,不等式(n+1)a
n≥na
2n對任意n∈N
*都成立.
(Ⅰ)求a
2的取值范圍;
(Ⅱ)判斷數(shù)列{a
n}能否為等比數(shù)列?說明理由;
(Ⅲ)設(shè)
,
,求證:對任意的n∈N
*,
.
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