Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

1+ax2

，其中a為實(shí)數(shù)，常數(shù)e=2.718…．
（1）若x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程f（x）=m有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由條件得f′(

1

3

)=0，解出a，并檢驗(yàn)是否為極值即可；
（2）求出a=-4的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0得x=1±

5

2

，而x≠±

1

2

．再解不等式，求出單調(diào)區(qū)間；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0，討論a＞1時(shí)的兩根x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．并求出極值，討論它們的符號(hào)，再討論當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)性，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

ex

1+ax2

，
其導(dǎo)數(shù)f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
因?yàn)?span id="jmjlzqu" class="MathJye">x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(

1

3

)=0，
即

1

9

a-

2

3

a+1=0，a=

9

5

．
而當(dāng)a=

9

5

時(shí)，ax2-2ax+1=

9

5

(x2-2x+

5

9

)=

9

5

(x-

1

3

)(x-

5

3

)，
可驗(yàn)證：x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．因此a=

9

5

．
（2）當(dāng)a=-4時(shí)，f′(x)=

(-4x2+8x+1)ex

(1-4x2)2

，
令f'（x）=0得-4x²+8x+1=0，解得x=1±

5

2

，而x≠±

1

2

．
所以當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)-

1

2

＜x＜

2- 5

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)

2- 5

2

＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)

1

2

＜x＜

2+ 5

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＞

2+ 5

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
因此f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(1-

5

2

，

1

2

)，(

1

2

，1+

5

2

)；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-

1

2

)，(-

1

2

，1-

5

2

)，(1+

5

2

，+∞)； 
（3）當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0得ax²-2ax+1=0，
當(dāng)a＞1時(shí)，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．
f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，
但是函數(shù)值恒大于零，極大值f（x₁），極小值f（x₂），
并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)=

ex

1+ax2

→+∞，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)=

ex

1+ax2

→0．因此當(dāng)f（x₂）＜m＜f（x₁）時(shí)，
關(guān)于x的方程f（x）=m一定總有三個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論成立；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞），
無(wú)論m取何值，方程f（x）=m最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論不成立．
因此所求a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，以及函數(shù)與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力．