Question

（2013•瀘州一模）定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1-x）=f（x）且x∈[0，l]時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[-l，l]上的解析式；
（II）當(dāng)λ為何值時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=λ在[-2，2]上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，0＜-x＜1，給出f（-x）的解析式后，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）在（-1，0）上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及f（1-x）=f（x），進(jìn)而得到函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域問題即可．

解答：解：（1）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，0＜-x＜1，
∵x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

．
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

又f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

當(dāng)x=0時(shí)，由f（-0）=-f（0）可得f（0）=0
又∵f（1-x）=f（x），
故f（1）=f（0）=0
f（-1）=-f（1）=0
綜上，f（x）=

2x 4x+1 ，(0＜x＜1) 0，(x∈{-1，0，1}) - 2x 4x+1 ，(-1＜x＜0)

（2）∵f（1-x）=f（x），f（-x）=-f（x），
∴f（1+x）=f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），
∴f（x）周期為2的周期函數(shù)，
∵方程f（x）=λ在[-2，2]上有實(shí)數(shù)解的λ的范圍
即為求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的值域 
即為求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f（x）=

2x

4x+1

，
故f′（x）=

(1-4x)•2x

(4x+1)2

ln2＜0
即f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴x∈（0，1）時(shí)，

2

5

=f（2）＜f（x）＜f（0）＜

1

2

，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）∈（

1

2

，

2

5

）
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）∈（-

2

5

，-

1

2

）  
當(dāng)x∈{-1，0，1}時(shí)，f（x）=0               
∴f（x）的值域?yàn)椋?

2

5

，-

1

2

）∪{0}∪（

1

2

，

2

5

）   
∴λ（-

2

5

，-

1

2

）∪{0}∪（

1

2

，

2

5

）時(shí)方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有實(shí)數(shù)解

點(diǎn)評：本題主要考查如何利用求對稱區(qū)間上的解析式，特別注意端點(diǎn)問題，還考查了用定義證明單調(diào)性求分段函數(shù)值域問題．