Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是橢圓上兩點，有下列三個不等式①a²+b²≥（x+y）²；②

1

x2

+

1

y2

≥（

1

a

+

1

b

）²③

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．其中不等式恒成立的序號是

 

．（填所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意知，

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用基本不等式及橢圓的有界性質(zhì)對①②③三個不等式逐一分析判斷即可．

解答： 解：由于 P（x，y）是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點，則

x2

a2

+

y2

b2

=1，
故①（a²+b²）=（a²+b²）（

x2

a2

+

y2

b2

）=x²+y²+

a2

b2

y²+

b2

a2

x²≥（x+y）²，故①正確；
②（

1

x2

+

1

y2

）=（

1

x2

+

1

y2

）（

x2

a2

+

y2

b2

）≥（

1

a

+

1

b

）²，故②也正確；
③由于Q（x′，y′）是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的點．
令x=acosθ，y=bsinθ，x′=acosθ₁，y′=bsinθ₁，
則

xx′

a2

=

acosθ•acosθ1

a2

=cosθcosθ₁，
同理可得，

yy′

b2

=sinθsinθ₁，
∴

xx′

a2

+

yy′

b2

=cosθcosθ₁+sinθsinθ₁=cos（θ-θ₁）≤1，故③也正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查基本不等式及橢圓的有界性，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．