Question

已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcosC+

1

2

c=a．
（1）求角B的大�。�
（2）若b=1，求ac的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，根據(jù)sinC不為0求出cosB的值，即可確定出B的大��；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將B的度數(shù)及b的值代入列出a與c的關(guān)系式，再利用基本不等式即可求出ac的最大值．

解答： 解：（1）由bcosC+

1

2

c=a和正弦定理得：sinBcosC+

1

2

sinC=sinA，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴

1

2

sinC=cosBsinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=

1

2

，
則B=

π

3

；
（2）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=cos

π

3

=

1

2

，b=1，
∴a²+c²-1=ac，
∵a2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號），
∴a²+c²-1=ac≥2ac-1，即ac≤1，
則ac的最大值為1．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．