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13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,向量a=Sn1,b=2n112,滿足條件ab,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1-bn=1,cn=bnan,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得數(shù)列遞推式,由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由已知可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求其通項(xiàng)公式,代入cn=bnan,利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

解答 解:(1)∵a=Sn1,b=2n112,且ab,
12Sn=2n1,即Sn=2n+12
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2;
當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=2n
a1=2適合上式,
an=2n;
(2)∵b1=1,bn+1-bn=1,
∴bn=1+1×(n-1)=n,
則cn=bnan=n2n
Tn=121+222+323++n12n1+n2n,
12Tn=122+223++n12n+n2n+1,
兩式作差得:12Tn=12+122+123++12nn2n+1=12112n112n2n+1=1n+22n+1
Tn=2n+22n

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線的坐標(biāo)表示,考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.

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