Question

已知函數f（x）=（x-1）²，其圖象在點（0，1）處的切線為l．
（1）求y=f（x）、直線l及x=3軸圍成圖形的面積；
（2）求y=f（x）、直線x=2及兩坐標軸圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得幾何體的體積．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程,用定積分求簡單幾何體的體積

專題：導數的概念及應用

分析：（1）求導函數，求出切線的斜率，利用點斜式，可得切線l的方程，求出直線與l與f′（x）的交點的橫坐標，可得積分的上、下限，利用定積分，可求直線l與f′（x）圖象圍成的圖形的面積；
（2）本題要求的是一個旋轉體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個端點處的數據，用定積分寫出體積的表示形式，得到結果．

解答： 解：（1）∵f′（x）=2x-2，∴k=f′（0）=2×0-2=-2，∴l(xiāng)：y-1=-2（x-0），即：y=1-2x，
∴y=f（x）、直線l及x=3軸圍成圖形的面積S=

∫

3 0

[（x-1）²-（1-2x）]dx═

∫

3 0

x²dx=

1

3

x3

|

3 0

=9．
（2）f（x）=（x-1）²、直線x=2及兩坐標軸圍成的圖形繞x軸旋轉一周所得幾何體的體積是V=

∫

2 0

π(x-1)4dx=π

1

5

(x-1)5

|

2 0

=

2

5

π

點評：本題考查導數知識的運用，考查利用定積分求面積，求幾何體的面積和體積，考查學生的計算能力，屬于中檔題．