Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，M是PD的中點(diǎn)，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：OM∥平面PAB；
（2）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（3）當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積等于時(shí)，求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，證明線(xiàn)線(xiàn)平行，從而可得線(xiàn)面平行；
（2）先證明BD⊥平面PAC，即可證明平面PBD⊥平面PAC；
（3）利用四棱錐P-ABCD的體積等于時(shí)，求出四棱錐P-ABCD的高為PA，利用PA⊥AB，即可求PB的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵在△PBD中，O、M分別是BD、PD的中點(diǎn)，∴OM是△PBD的中位線(xiàn)，∴OM∥PB，…（1分）
∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，…（3分）
∴OM∥平面PAB．…（4分）
（2）證明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）
（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴菱形ABCD的面積為，…（11分）
∵四棱錐P-ABCD的高為PA，∴，得…（12分）
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）
在Rt△PAB中，．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．