Question

11．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個倉庫，它的上部是底面圓半徑為5米的圓錐，下部是底面圓半徑為5米的圓柱，且該倉庫的總高度為5米．經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/米²、1百元/米²．
（1）記倉庫的側(cè)面總造價(jià)為y百元，
①設(shè)圓柱的高為x米，試將y表示為關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）；
②設(shè)圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ，試將y表示為關(guān)于θ的函數(shù)y=g（θ）；
（2）問當(dāng)圓柱的高度為多少米時，該倉庫的側(cè)面總造價(jià)（單位：百元）最少？

Answer 1

分析 （1）①由題可知，圓柱的高為x米，且x∈（0，5），利用制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/米²、1百元/米²，可將y表示為關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）；
②設(shè)圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ，即可將y表示為關(guān)于θ的函數(shù)y=g（θ）；
（2）由②，令$h（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，${h^'}（θ）=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①由題可知，圓柱的高為x米，且x∈（0，5），…（2分）
則該倉庫的側(cè)面總造價(jià)$y=（2π×5x）×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\sqrt{（5-x{）^2}+25}}]×4$=$10πx+20π\(zhòng)sqrt{{x^2}-10x+50}$，x∈（0，5）…（4分）
②由題可知，圓錐母線與軸所在直線所成角為θ，且$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，…（6分）
則該倉庫的側(cè)面總造價(jià)$y=[{2π×5×5（1-\frac{1}{tanθ}）}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{sinθ}}]×4$=$50π（{1+\frac{2-cosθ}{sinθ}}）$，$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$…（8分）
（2）由②，令$h（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，${h^'}（θ）=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$得$cosθ=\frac{1}{2}$，$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$即$θ=\frac{π}{3}$，…（11分）

θ	$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$	$θ=\frac{π}{3}$	$（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$
h′（θ）	-	0	+
h（θ）	↘	極小值	↗

不列表描述單調(diào)性，扣（3分）…（14分）
當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$時，h（θ）取得最小值，側(cè)面總造價(jià)y最小，
此時圓柱的高度為$5-\frac{5}{tanθ}=5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米．…（15分）
答：當(dāng)圓柱的高度為$5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米時，該倉庫的側(cè)面總造價(jià)最少．…（16分）

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的能力，考查運(yùn)算求解能力．