已知函數(shù)f(x)=aln(1+ex)-(a+1)x,(其中a>0),點A(x1,f(x1),,B(x2•f(x2))C(x3,f(x3))從左到右依次是函數(shù)y=f(x)圖象上的不同點,且x1,x2,x3成等差數(shù)列.
(1)證明:函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù);
(2)證明:△ABC為鈍角三角形;
(3)請問△ABC能否成為等腰三角形?若能,求△ABC面積的最大值;若不能,說明理由.
分析:(1)∵f(x)=aln(1+e
x)-(a+1)x,欲證函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),只須證明其導(dǎo)數(shù)f′(x)<0即可;
(2)先設(shè)A(x
1,f(x
1)),B(x
2,f(x
2)),C(x
3,f(x
3))且x
1<x
2<x
3,欲證:△ABC是鈍角三角形,只須證明其中一個內(nèi)角為鈍角即可,結(jié)合向量的坐標運算,只須證明:
•<0即得;
(3)假設(shè)△ABC為等腰三角形,則只能是
||=||,再利用平面內(nèi)兩點的距離公式將點的坐標代入計算,如出現(xiàn)矛盾,則△ABC不可能為等腰三角形,如不矛盾,則△ABC能是等腰三角形.
解答:解:(1)∵f(x)=aln(1+e
x)-(a+1)x,∴
f′(x)=-(a+1)=<0恒成立,
所以函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).(3分)
(2)證明:據(jù)題意A(x
1,f(x
1)),B(x
2,f(x
2)),C(x
3,f(x
3))且x
1<x
2<x
3,
由(Ⅰ)知f(x
1)>f(x
2)>f(x
3),x
2=
(4分)
可得A(x
1,f(x
1)),B(x
2,f(x
2)),C(x
3,f(x
3))三點不共線
(反證法:否則
2ex2=ex1+ex3≥2=2ex2,得x
1=x
3)
∴
=(x1-x2,f(x1)-f(x2)),=(x3-x2,f(x3)-f(x2)∴
•=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)](6分)
∵x
1-x
2<0,x
3-x
2>0,f(x
1)-f(x
2)>0,f(x
3)-f(x
2)<0,∴
•<0,∴
∠B∈(,π)即△ABC是鈍角三角形(8分)
(3)假設(shè)△ABC為等腰三角形,則只能是
||=||即:(x
1-x
2)
2+[f(x
1)-f(x
2)]
2=(x
3-x
2)
2+[f(x
3)-f(x
2)]
2∵x
2-x
1=x
3-x
2∴[f(x
1)-f(x
2)]
2=[f(x
3)-f(x
2)]
2即2f(x
2)=f(x
1)+f(x
3)
?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2?2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)?(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)?e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?2ex2=ex1+ex3①(11分)
而事實上,
ex1+ex3≥2=2ex2②
由于
ex1<ex3,故(2)式等號不成立.這與(1)式矛盾.
所以△ABC不可能為等腰三角形.(13分)
點評:此題是個難題.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積表示兩個向量的夾角、兩點間距離公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力.