Question

如圖1，正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)A，D在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3

3

），點(diǎn)F在AD上，且AF=3，過點(diǎn)F且平行于y軸的線段EF與BC交于點(diǎn)E，現(xiàn)將正方形一角折疊使頂點(diǎn)B落在EF上，并與EF上的點(diǎn)G重合，折痕為HI，且知BG=2

3

，B（5，3

3

），點(diǎn)J為折痕HI所在的直線與x軸的交點(diǎn)．
（1）求折痕HI所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在線段HI上，當(dāng)△PGI為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出解答過程；
（3）①如圖2，在y軸上有一點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（0，-2k）作直線JQ另有一直線y=

k

2

x-

k

2

，兩直線交于點(diǎn)S，請(qǐng)證明點(diǎn)S在正方形ABCD的AB邊所在直線上；
②在①中，在直線y=

k

2

x-

k

2

上有一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為-1，那么問

QS-QR

JS

的值為定值嗎？若是定值求出這個(gè)值，若不是，則說明理由．
    

Answer 1

考點(diǎn)：曲線與方程

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)出直線HI：y=kx+b，把h坐標(biāo)代入直線方程，用k表示b，由B點(diǎn)到HI的距離等于

3

列方程求得k的值，則直線HI的方程可求；
（2）根據(jù)（1）求得BG的方程，由I的坐標(biāo)求得G的坐標(biāo)，設(shè)P（t+2，

3

t），然后分PG=PI，PG=GI，PI=GI三種情況求得P的坐標(biāo)；
（3）①由（1）求得J的坐標(biāo)，結(jié)合Q（0，-2k）求得直線JQ的方程，和直線2y=k（x-1）聯(lián)立求得S坐標(biāo)，從而說明S在直線AB（x=3）上．
②求出Q，J，S，R的坐標(biāo)，再求得QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，即可得到

QS-QR

JS

為定值．

解答： 解：（1）設(shè)HI：y=kx+b，
∵直線過H（5，3

3

），則3

3

=5k+b，即：b=3

3

-5k
∵BG=2

3

，
∴B點(diǎn)到HI的距離=

3

，即：

3

•

k2+1

=|3k+b-3

3

|=|3k+3

3

-5k-3

3

|，
兩邊平方得：3k²+3=4k²，即k=±

3

．
其中k=-

3

不合題意，舍去．
∴HI：y=

3

x-2

3

；
（2）根據(jù)（1）可得，BG：y=4

3

-

3

3

x，I（3，

3

），
∴G（6，2

3

），
設(shè)P（t+2，

3

t），則
當(dāng)PG=PI時(shí)，（t-4）²+3（t-2）²=（t-1）²+3（t-1）²，解得t=2，P1(4，2

3

)；
當(dāng)PG=GI時(shí)，(t-4)2+3(t-2)2=(6-3)2+(

3

)2，解得t=4或t=1（舍去，與I點(diǎn)重合），P2(6，4

3

)；
當(dāng)PI=GI時(shí)，(t-1)2+3(t-1)2=(6-3)2+(

3

)2，解得t=1-

3

或t=1+

3

．
∴P3(3-

3

，-3+

3

)，P4(3+

3

，3+

3

)；
（3）①由（1）得：J（2，0），∵Q（0，-2k），直線2y=k（x-1），
∴JQ：y=k（x-2），
與直線2y=k（x-1）聯(lián)立，即得S（3，k），S在直線AB（x=3）上．
②Q（0，-2k），J（2，0），S（3，k），R（-1，-k），
QS=3

1+k2

，QR=

1+k2

，JS=

1+k2

，

QS-QR

JS

=

3 1+k2 - 1+k2

1+k2

=2為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線方程的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確理解題意是解答該題的關(guān)鍵，是中高檔題．