Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

cos（2x-φ）的圖象過點（

π

6

，

1

2

），
①求φ的值；
②將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在（0，

π

4

）上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①直接把點（

π

6

，

1

2

）代入函數(shù)解析式，即可求得φ值；
②利用三角函數(shù)圖象的平移得到函數(shù)y=g（x）的解析式，然后根據(jù)x的范圍求得函數(shù)y=g（x）在（0，

π

4

）上的最大值和最小值．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=

1

2

cos（2x-φ）的圖象過點（

π

6

，

1

2

），
∴

1

2

cos(2×

π

6

-φ)=

1

2

，即cos(

π

3

-φ)=1，
∴

π

3

-φ=2kπ，k∈Z．
則φ=2kπ+

π

3

，k∈Z；
②函數(shù)f（x）=

1

2

cos（2x-2kπ-

π

3

）=

1

2

cos（2x-

π

3

），
將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
則對應圖象的函數(shù)解析式為g（x）=

1

2

cos（4x-

π

3

），
由x∈（0，

π

4

），得4x-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，
∴

1

2

cos（4x-

π

3

）∈(-

1

4

，

1

2

]．
∴函數(shù)y=g（x）在（0，

π

4

）上的最大值為

1

2

，無最小值．

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)值域的求法，是中檔題．