Question

【題目】橢圓：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，若直線與直線的交點(diǎn)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)為橢圓的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：為定值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由橢圓的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，上下頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)為，則直線的方程為，直線的方程為，又因?yàn)橹本�與直線的交點(diǎn)為，把點(diǎn)分別代入直線的方程，解得且，又因?yàn)?/span>，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．4分

（2）設(shè)的方程為，代入并整理得：，．．．．．6分

設(shè)，則，

又因?yàn)?/span>，同理．．．．．．．．．．．．．．8分

則，

所以是定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【命題意圖】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，定值問題，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，綜合分析問題和解決問題的能力及基本運(yùn)算能力．