P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
上一點,F(xiàn)1、F2為左右焦點,∠F1PF2=90°
(1)若PF1的中點為M,求證|MO|=5-
1
2
|PF1|
;
(2)求△F1PF2的面積;
(3)求P點的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)橢圓的方程,算出a=5、b=3且c=4,△PF1F2中利用中位線定理,結(jié)合橢圓的定義即可證出PF1的中點M滿足關(guān)系式|MO|=5-
1
2
|PF1|
;
(2)設(shè)|PF1|=t1,|PF2|=t2,根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于t1、t2的方程組,平方相減即可求出|PF1|•|PF2|=18,結(jié)合直角三角形面積公式即可算出△F1PF2的面積;
(3)設(shè)P(x,y),根據(jù)△F1PF2的面積S F1PF2=
1
2
•2c•|y|=9
,解出y=±
9
4
,再代入橢圓方程求出橫坐標(biāo)的值,即可得到P點的坐標(biāo).
解答:解:∵橢圓方程為
x2
25
+
y2
9
=1

∴a=5,b=3,可得c=
a2-b2
=4
(1)∵△PF1F2中,O、M分別是PF1、F1F2的中點
∴|OM|=
1
2
|PF2|,根據(jù)橢圓的定義得|PF2|=10-|PF1|
因此,|OM|=
1
2
|PF2|=5-
1
2
|PF1|

(2)設(shè)|PF1|=t1,|PF2|=t2,則t1+t2=10①
又∵Rt△PF1F2中,利用勾股定理得
t
2
1
+
t
2
2
=(2c)2=82
②,
由①2-②,得t1t2=18
∴△F1PF2的面積S F1PF2=
1
2
t1t2=9
;
(3)設(shè)P(x,y),由S F1PF2=
1
2
•2c•|y|=4•|y|
,
得4|y|=9,解之得|y|=
9
4
⇒y=±
9
4

y=±
9
4
代入橢圓方程解,得x=±
5
7
4

∴P點的坐標(biāo)為P(
5
7
4
,±
9
4
)
P(-
5
7
4
,±
9
4
)
點評:本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形,求它的面積和直角頂點P的坐標(biāo),著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1、F2分別為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦點,P為橢圓上一點,Q是y軸上的一個動點,若|
PF1
|-|
PF2
|=4,則
PQ
•(
PF1
-
PF2
)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列命題:
①過點P(2,1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=
1
2
x
;
②雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1
與橢圓
x2
35
+y2=1
有相同的焦點;
③焦點在x軸上的雙曲線C,若離心率為
5
,則雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x.
④橢圓
x2
m+1
+
y2
m
=1
的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上的動點,△PF1F2的面積的最大值為2,則m的值為2.其中真命題的序號為
 
.(寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
在第一象限內(nèi)的任意一點,過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作與y軸和x軸的平行線交于C,過P引BC、AC的平行線交AC于N,交BC于M,交AB于D、E,矩形PMCN的面積是S1,三角形PDE的面積是S2,則S1:S2=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個焦點,若點P在橢圓上,且滿足PF1=3,Q是y軸上的一個動點,則
PQ
•(
PF1
-
PF2
)
=
-20
-20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•奉賢區(qū)二模)已知:P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
上的任意一點,過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作與x軸和y 軸的平行線交于C,過P引BC、AC的平行線交AC于N,交BC于M,交AB于D、E,矩形PMCN是S1,三角形PDE的面積是S2,則S1:S2=( 。

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同步練習(xí)冊答案