Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)圍成正方形，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，右焦點(diǎn)為F₂，且|F₂E|=1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過F₂的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)，且+與向量（1，-）共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求與的夾角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，由此能得到所求橢圓．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，不合題意．當(dāng)直線AB的斜面率為k時(shí)，其方程為y=k（x-1），由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，結(jié)合+與向量（1，-）共線由題意得，由此能求出與的夾角．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為，
由，得，
∴所求橢圓為．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，不合題意．
當(dāng)直線AB的斜面率為k時(shí)，其方程為y=k（x-1），
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∴
=，
由題意得，
∴k=0或k=．
當(dāng)k=0時(shí)，與的夾角為π．
當(dāng)k=時(shí)，∵
=，
∴與的夾角為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和求與的夾角．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．