Question

已知f（x）=x²-（a+2）x+alnx
①當a=1時，求函數(shù)f（x）的極小值；
②當a=-1時，過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點為P（m，n），求實數(shù)m的值；
③若x≥1時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，求出f′(x)=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的極值．
（2）先求出f′(x)=2x-1-

1

x

(x＞0)，從而求出切線的方程，整理得m²+lnm-1=0，進而求出m的值．
（3）f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

(x≥1)，分別討論a=2，a＞2，a＜2時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f′(x)=2x-3+

1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

當x∈(0，

1

2

)f′(x)＞0，f（x）單增，
當x∈(

1

2

，1)f′(x)＜0，f（x）單減，
當x∈（1，+∞）f'（x）＞0f（x）單增，
∴當x=1時，f（x）取得極小值-2．
（2）f′(x)=2x-1-

1

x

(x＞0)，
所以切線的斜率k=2m-1-

1

m

=

n-0

m-0

=

m2-m-lnm

m

，
整理得m²+lnm-1=0，顯然m=1是這個方程的解．
又∵y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以x²+lnx-1=0有唯一實數(shù)解，
故m=1．
（3）f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

(x≥1)
若a=2，則f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）單增，
故f（1）=1-（a+2）≥2，得a≤-1舍去
若a＞2，則x∈(1，

a

2

)時，f′(x)＜0，x∈(

a

2

，+∞)時，f'（x）＞0
要f（x）≥0恒成立，
即f（x）的最小值f(

a

2

)≥0，也即

a＞2 a2 4 -(a+2) a 2 +a•ln a 2 ≥0

，
令φ(x)=

x

4

-(x+2)•

1

2

+ln

x

2

(x＞2)
=-

x

4

-1+ln

x

2

令t=

x

2

(t＞1)，
h(t)=-

t

2

-1+lnt，
h′(t)=-

1

2

+

1

t

=

2-t

2t

，
當t∈（1，2）時，h'（t）＞0，
當t∈（2，+∞）時，h'（t）＜0，
∴h（t）在（1，+∞）上的最大值為h（2）=-2+ln2＜0，
∴φ（x）＜0在x∈（2，+∞）上成立，
∴x•φ(x)=

x2

4

-(x+2)•

x

2

+xln

x

2

＜0在(2，+∞)上成立，
∴a＞2不適合
若a＜2，則x∈[1，+∞）時，f'（x）≥0，f（x）單增，
由題

a＜2 f(1)≥0

得a≤-1，
綜上：a≤-1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的取值，考查分類討論思想，切線方程，是一道綜合題．