Question

（2013•深圳二模）各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足

a

2 n

=4Sn-2an-1（n∈N^*），其中S_n為{a_n}前n項和．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）是否存在正整數(shù)m、n，使得向量

a

=（2a_n+2，m）與向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）垂直？說明理由．

Answer 1

分析：（1）將n=1、n=2分別代入已知等式，結(jié)合公式S_n=a₁+a₂+…+a_n解方程即可得到a₁=1、a₂=3；
（2）根據(jù)

a

2 n

=4Sn-2an-1，用n+1代替n得

a

2 n+1

=4Sn+1-2an+1-1，兩式相減再化簡整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，由{a_n}的各項為正數(shù)可得a_n+1-a_n=2，從而得到數(shù)列{a_n}構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合a₁=1即可算出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由（2）求出的通項公式，化簡得

a

=（2（2n+3），m），

b

=（-（2n+9），2n+2）．設(shè)

a

⊥

b

則

a

•

b

=0，結(jié)合向量數(shù)量積坐標運算公式進行化簡，得m=4（n+1）+16+

7

n+1

，通過討論m、n的值為正整數(shù)，可得存在正整數(shù)m=45、n=6，能使向量

a

=（2a_n+2，m）與向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）垂直．

解答：解：（1）當n=1時，

a

2 1

=4S1-2a1-1，化簡得(a1-1)2=0，解之得a₁=1
當n=2時，

a

2 2

=4S2-2a2-1=4（a₁+a₂）-2a₂-1
將a₁=1代入化簡，得a22-2a2-3=0，解之得a₂=3或-1（舍負）
綜上，a₁、a₂的值分別為a₁=1、a₂=3；
（2）由

a

2 n

=4Sn-2an-1…①，

a

2 n+1

=4Sn+1-2an+1-1…②
②-①，得

a

2 n+1

-

a

2 n

=4an+1-2an+1+2an=2(an+1+an)
移項，提公因式得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，
∴a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-a_n-2=0
因此，a_n+1-a_n=2，得數(shù)列{a_n}構(gòu)成以1為首項，公差d=2的等差數(shù)列
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（3）∵向量

a

=（2a_n+2，m）與向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）
∴結(jié)合（2）求出的通項公式，得

a

=（2（2n+3），m），

b

=（-（2n+9），2n+2）
若向量

a

⊥

b

，則

a

•

b

=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0
化簡得m=4（n+1）+16+

7

n+1

∵m、n是正整數(shù)，
∴當且僅當n+1=7，即n=6時，m=45，可使

a

⊥

b

符合題意
綜上所述，存在正整數(shù)m=45、n=6，能使向量

a

=（2a_n+2，m）與向量

b

=（-a_n+5，3+a_n）垂直．

點評：本題著重考查了等差數(shù)列的定義、通項公式與求和公式，會根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的前幾項與數(shù)列通項公式，考查了平面向量的數(shù)量積運算性質(zhì)．同時考查了學生的運算求解、推理論證和變形處理能力，屬于中檔題．