Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n+1-4a_n的值（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由an+1=2an+2n兩邊同時(shí)除以2ⁿ⁺¹，由此能證明數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=n•2n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出S_n，進(jìn)而能求出S_n+1-4a_n的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵an+1=2an+2n，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．
所以數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

2n

=

1

2

+(n-1)

1

2

=

n

2

，
所以an=n•2n-1，
又Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．①
2Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n．②
由②-①可得Sn=n•2n-(1+2+22+…+2n-1)=(n-1)•2n+1．
故Sn+1-4an=n•2n+1+1-4n•2n-1=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．