Question

（14分）已知函數，其中a是實數．設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的兩點，且x₁＜x₂．

（Ⅰ）指出函數f（x）的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，證明：x₂﹣x₁≥1；

（Ⅲ）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數f（x）的單調減區(qū)間（﹣∞，﹣1），函數f（x）的單調增區(qū)間[﹣1，0），（0，+∞）

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）（﹣ln2﹣1，+∞）

【解析】（I）函數f（x）的單調減區(qū)間（﹣∞，﹣1），函數f（x）的單調增區(qū)間[﹣1，0），（0，+∞）；

（II）由導數的幾何意義知，點A處的切線的斜率為f′（x₁），點B處的切線的斜率為f′（x₂），

函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直時，有f′（x₁）f′（x₂）=﹣1，

當x＜0時，（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，

∴x₂﹣x₁=[﹣（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥=1，

∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，有x₂﹣x₁≥1；

（III）當x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，

當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁））處的切線方程為y﹣（x+2x₁+a）=（2x₁+2）（x﹣x₁）；

當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為y﹣lnx₂=（x﹣x₂）；

兩直線重合的充要條件是，

由①及x₁＜0＜x₂得0＜＜2，由①②得a=lnx₂+（）²﹣1=﹣ln+（）²﹣1，

令t=，則0＜t＜2，且a=t²﹣t﹣lnt，設h（t）=t²﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）

則h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）為減函數，

則h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，

∴若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，a的取值范圍（﹣ln2﹣1，+∞）．