(本題滿分12分)
把邊長為
的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形(如圖陰影部分)后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫),設(shè)容器的高為
,容積為
.
(Ⅰ)寫出函數(shù)
的解析式,并求出函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)求當x為多少時,容器的容積最大?并求出最大容積.
(Ⅰ)
,定義域為
。(Ⅱ)容器高為
時,容器的容積最大為
.
試題分析:(Ⅰ)因為容器的高為x,則做成的正三棱柱形容器的底邊長為
----2分.
則
. ---------4分
函數(shù)的定義域為
. --------- 5分
(Ⅱ)實際問題歸結(jié)為求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值點.
先求
的極值點.
在開區(qū)間
內(nèi),
-----------6分
令
,即令
,解得
.
因為
在區(qū)間
內(nèi),
可能是極值點. 當
時,
;
當
時,
. ------------8分
因此
是極大值點,且在區(qū)間
內(nèi),
是唯一的極值點,
所以
是
的最大值點,并且最大值
即當正三棱柱形容器高為
時,容器的容積最大為
.----------12分
點評:本題主要考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高,進而求出函數(shù)的解析式,建立數(shù)學(xué)模型.求解析式的時候,要記得求函數(shù)的定義域。
練習(xí)冊系列答案
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若函數(shù)
的定義域和值域都是[0,1],則a=( )
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函數(shù)
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函數(shù)
的值域是( )
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函數(shù)
的定義域為A,若
,則
的取值范圍為
.
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函數(shù)
的定義域為 ( )
A.(e,+∞) | B.[e,+∞) | C. (O,e] | D.(-∞,e] |
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已知函數(shù)
的定義域為
,滿足
,當
時,
,則
等( )
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來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)
的定義域是( )
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