Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x+

a

2x

，a為常數(shù)，若f（x）為偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），即 2^x+

a

2x

=

1

2x

+a•2^x，由此求得a的值．
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增，任取 0＜x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＜0，從而證明結(jié)論．
（3）函數(shù) f（x）=2^x+

1

2x

，令 t=2^x＞0，則 y=t+

1

t

，利用基本不等式求出它的值域．

解答：解：（1）由f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），即 2^x+

a

2x

=

1

2x

+a•2^x ，…2分
從而a=1．     …4分   
f（x）=2^x+

1

2x

． …5分
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增．
證明：任取 0＜x₁＜x₂，…6分 
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-2x2-

1

2x2

=（2x1-2x2 ）+

2x2-2x1

2x1•2x2

=（2x1-2x2 ）（1-

1

2x1•2x2

）=（2x1-2x2 ）（

2x2+x1-1

2x1•2x2

 ），…..7分
由條件-∞＜x₁＜x₂，可得（2x1-2x2 ）＜0，）（

2x2+x1-1

2x1•2x2

）＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增．…..10分
（3）∵函數(shù) f（x）=2^x+

1

2x

，令 t=2^x＞0，…..11分
則 y=t+

1

t

，（ t＞0）…..12分
由基本不等式可得y=t+

1

t

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，等號(hào)成立，…..14分
所以函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．…..15分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的奇偶性以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．