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20.對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),f''(x)是f'(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f''(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)f(x)=13x3-12x2+3x-512,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),計算f(12017)+f(22017)+…+f(20152017)+f(20162017)=2016.

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(12,1)對稱,即f(x)+f(1-x)=2,即可得到結(jié)論.

解答 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=x2-x+3,
f″(x)=2x-1,
由f″(x0)=0得2x0-1=0,
解得x0=12,而f(12)=1,
故函數(shù)f(x)關(guān)于點(12,1)對稱,
∴f(x)+f(1-x)=2,
故設(shè)f(12017)+f(22017)+…+f(20152017)+f(20162017)=m,
則f( 20162017)+f(20152017)+…+f(12017)=m,
兩式相加得2×2016=2m,
則m=2016.
故答案為:2016.

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算,利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵.求和的過程中使用了倒序相加法.

練習(xí)冊系列答案
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