Question

設函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調性；
（2）b≤0時，求f（x）的極值點；
（3）求證：對任意不小于3的正整數(shù)n，不等式ln（n+1）-lnn＞都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由負數(shù)沒有對數(shù)得到f（x）的定義域，求出f（x）的導函數(shù)，根據(jù)b大于得到導函數(shù)大于0，所以函數(shù)在定義域內單調遞增；
（2）令f（x）的導函數(shù)等于0，求出此時方程的解即可得到x的值，根據(jù)d小于等于0舍去不在定義域范圍中的解，得到符合定義域的解，然后利用這個解把（0，+∞）分成兩段，討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)f（x）的增減性，根據(jù)f（x）的增減性即可得到函數(shù)的唯一極小值為這個解；
（3）令b=-1＜0，代入f（x）的解析式中確定出f（x），并根據(jù)（2）把b的值代入求出的唯一極小值中求出值為，得到函數(shù)的遞減區(qū)間為（0，），根據(jù)，利用函數(shù)為減函數(shù)即可得到函數(shù)值，化簡得證．
解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），．
當時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）令，
得，．
當b≤0時，∉（0，+∞）（舍去），
而∈（0，+∞），
此時：f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：
由此表可知：∵b≤0時，f（x）有惟一極小值點；
（3）由（2）可知當b=-1時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，此時f（x）有惟一極小值點：，
且時，f'（x）＜0，f（x）在為減函數(shù)．
∵當n≥3時，，
∴恒有，即恒有．
∴當n≥3時，恒有成立．
點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，并根據(jù)函數(shù)的單調性得到函數(shù)的極值，掌握導數(shù)在最值問題中的應用，是一道綜合題．學生做題時應注意找出函數(shù)的定義域．第三問的突破點是令b=-1，然后利用增減性進行證明．