Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+1，求：
（1）f′（1）的值；
（2）函數(shù)g（x）=

f(x)

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) f（x）的單調(diào)性極值最大值即可得出．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

-2x，
∴f′（1）=1-2=-1．
（2）由f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

=

-2(x+ 2 2 )(x- 2 2 )

x

0，x＞0，解得x=

2

2

．
∴當(dāng)x＞

2

2

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜

2

2

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此當(dāng)x=

2

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，f(

2

2

)=-

1

2

ln2-

1

2

+1=

1

2

(1-ln2)＞0．
∴g(x)max=

f( 2 2 )

=

2(1-ln2)

2

．
要使函數(shù)g（x）有意義，則f（x）≥0，即g（x）≥0．
∴函數(shù)g（x）=

f(x)

的值域是[0，

2(1-ln2)

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，屬于中檔題．