Question

若實數(shù)x、y滿足約束條件

y≤1 x+y≥0 x-y-2≤0

，
（1）求目標函數(shù)z=x-2y的最大值；
（2）求目標函數(shù)z=

y+2

x+2

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)z=x-2y中，z的幾何意義，通過直線平移即可得到z的最大值；
（2）目標函數(shù)z=

y+2

x+2

的幾何意義為動點M（x，y）到定點P（-2，-2）的斜率，利用數(shù)形結合即可得到z的最大值和最小值．

解答： 解：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由z=x-2y，得y=

1

2

x-

z

2

，
平移直線y=

1

2

x-

z

2

，當直線y=

1

2

x-

z

2

經過點A時，直線的截距最小，此時z最大，
由

x+y=0 x-y-2=0

，解得

x=1 y=-1

，即A（1，-1），
此時z的最大值為z=1-2×（-1）=1+2=3．
（2）目標函數(shù)z=

y+2

x+2

的幾何意義為動點M（x，y）到定點B（-2，-2）的斜率，
當M位于A（1，-1）時，此時PA的斜率最小，此時z_min=

-1+2

1+2

=

1

3

，
當M位于C時，此時PC的斜率最大，
由

y=1 x+y=0

，解得

x=-1 y=1

，即C（-1，1），此時z_max=

1+2

-1+2

=3．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．