Question

已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AFC；
（2）求平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

證明：（1）連接BD交AC于O，∵ABCD為菱形，則BO=OD（1分）
連接FO，則FO∥PB（3分）∵FO?平面AFC，PB?平面AFC，∴PB∥平面AFC（4分）
（2）解：∵E為BC中點(diǎn)，∴AB=2BE∵∠ABE=60°，∴∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD．（6分）
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，
則，D（90，2，0）（8分）
平面PAE的一個(gè)法向量為m=（0，1，0）（9分）
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n=（x，y，z）
則∴
∴，令y=∴（11分）
∴，
∴平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．（12分）
分析：對(duì)于（1），要證PB∥平面AFC，只需證明PB與平面AFC內(nèi)的一條直線平行即可，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，底面ABCD為菱形，故連接BD交AC于O，則O為AC的中點(diǎn)，從而OF為三角形PBD的中位線，易知FO∥PB，從而得證；
對(duì)于（2），由于E為BC中點(diǎn)，∴AB=2BE∵∠ABE=60⁰，∴∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，從而可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間作標(biāo)系，分別求出平面PAE與平面PCD一個(gè)法向量，求出這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定和二面角的求法，要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行，將求二面角轉(zhuǎn)化為求其法向量的夾角．