Question

（本小題滿分12分）

已知函數

（1）是否存在實數，使得函數的定義域、值域都是，若存在，則求出的值，若不存在，請說明理由.

（2）若存在實數，使得函數的定義域為時，值域為 （），求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) 不存在適合條件的實數 (2)

【解析】

試題分析：解：(1)若存在滿足條件的實數，使得函數的定義域、值域都是，則由題意知 

① 當時，在上為減函數.故即   解得，故此時不存在適合條件的實數 

②當時，在上是增函數. 故即，此時是方程的根，此方程無實根.故此時不存在適合條件的實數

③當時， 由于，而，故此時不存在適合條件的實數，綜上可知，不存在適合條件的實數.

（2）若存在實數，使得函數的定義域為時，值域為

則  

①當時，由于在上是減函數，值域為，

即此時異號，不合題意.所以不存在.

②當或時，由（1）知0在值域內，值域不可能是，所以不存在，故只有

又因為在上是增函數， 即

是方程的兩個根，即關于的方程有兩個大于的實根.設這兩個根為   則

所以    即   解得

故的取值范圍是

考點：本試題考查了函數的概念運用。

點評：解決函數的定義域和值域的問題，主要是分析函數的單調性，對于含有絕對值的 函數實際就是分段函數，要分別考慮求解其值域，同時要注意分段函數的值域等于各段函數值域的并集，定義域也是各段定義域的并集，屬于難度試題。