Question

拋物線y=x²-1上是否存在著關于直線y=x對稱的兩點，證明你的結論.

Answer 1

證明:假設拋物線y=x²-1上存在著關于直線y=x對稱的兩點P（a,b）和Q（b,a），這里a,b是不相等的實數，則

②-①,得（a-b）=(b²-a²),?

則（a-b）(a+b+2)=0.?

∵a≠b,?

∴a-b≠0.?

那么a+b+2=0.?

∴b=-a-2代入①得?

a²+2a+2=0.?

∵Δ=2²-4×1×2＜0,?

∴方程沒有實數根，這與a是實數矛盾.?

因此拋物線y=x²-1上不存在關于直線y=x對稱的兩點.

點評:符合條件的點或者存在或者不存在，二者必居其一，不可能有第三種情況，我們可以假設這樣的點存在，然后通過合乎邏輯的推理和正確的運算，如果能求出這樣的點，那就證明這樣的點存在，如果因此引出矛盾，那就從反面證明這樣的點是不存在的.?

可見，借助反證法可解探索結論的開放性問題.