Question

已知點(diǎn)P在曲線C：y=

1

x

 (x＞1)上，曲線C在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x_A、x_B，記f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=f(

an-1

) (n≥2 且 x∈N*)，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）在 （2）的條件下，當(dāng)1＜k＜3時，證明不等式a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

x

，求出切線方程為y-

1

t

=-

1

t2

(x-t)，與y=kx聯(lián)立得：xA=

2t

kt2+1

，x_B=2t，再由f（t）=x_A•x_B，能求出f（t）的解析式．
（2）由an=f(

an-1

)得：an=

4an-1

kan-1+1

，

1

an

=

kan-1+1

4an-1

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，設(shè)bn=

1

an

-

k

3

，則bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1，由此導(dǎo)出bn=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，解得an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

．
（3）因為an-

3

k

=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

-

3

k

=

3k-9

k2•4n-1+k(3-k)

，由1＜k＜3，知an-

3

k

＞

3k-9

k2

•

1

4n-1

，所以a1+a2+…+an-

3n-8k

k

=（a1-

3

k

）+（a2-

3

k

）+…+（an-

3

k

）=

3k-9

k2

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)+8＞

4(k-3)

k2

+8
=

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0，由此能夠證明a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

解答：解：（1）∵y=

1

x

，
∴y′=-

1

x2

，
∴切線方程為y-

1

t

=-

1

t2

(x-t)，
與y=kx聯(lián)立得：xA=

2t

kt2+1

，令y=0，得：x_B=2t，
∵f（t）=x_A•x_B，
∴f(t)=

4t2

kt2+1

（k＞0，t＞1）．
（2）由an=f(

an-1

)得：an=

4an-1

kan-1+1

，

1

an

=

kan-1+1

4an-1

=

1

4

•

1

an-1

+

k

4

，
設(shè)bn=

1

an

-

k

3

，
則bn=

1

an

-

k

3

=

1

4

(

1

an-1

-

k

3

)=

1

4

bn-1，
∵a₁=1，
∴①當(dāng)k=3時，b1=

1

a1

-1=0，
∴{b_n}是以0為首項的常數(shù)數(shù)列，
∴a_n=1．
②當(dāng)k≠3時，{b_n}是以1-

k

3

為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴bn=(1-

k

3

)(

1

4

)n-1，
解得an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

，
由①②，得an=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

．
（3）∵an-

3

k

=

3•4n-1

k•4n-1+3-k

-

3

k

=

3k-9

k(k•4n-1+3-k)

=

3k-9

k2•4n-1+k(3-k)

，
∵1＜k＜3，
∴an-

3

k

＞

3k-9

k2

•

1

4n-1

，
∴a1+a2+…+an-

3n-8k

k

=（a1-

3

k

）+（a2-

3

k

）+…+（an-

3

k

）
=

3k-9

k2

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)+8
=

4(k-3)

k2

[1-(

1

4

)n]+8
＞

4(k-3)

k2

+8
=

4(2k+3)(k-1)

k2

，
∵1＜k＜3，
∴

4(2k+3)(k-1)

k2

＞0．
∴a1+a2+…+an＞

3n-8k

k

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．